LICZBY, FIGURY I INNE A(BS)TRAKCJE

ISBN: 978-83-67234-01-6   176 stron format: B5 oprawa: miękka Rok wydania: 2022

W miarę wykształcony człowiek słyszał coś o teorii względności, o DNA, o ewolucji czy o tablicy Mendelejewa. Ale jego wiedza matematyczna z reguły kończy się na logarytmach, geometrii analitycznej bądź początkach analizy, czyli na matematyce XVII w. A najgłębsze znane ze szkoły twierdzenia - twierdzenie Pitagorasa i wzór na objętość kuli - mają ponad 2200 lat.
Absolwent szkoły średniej może sobie wyobrazić, czym zajmuje się fizyk, biolog czy historyk. Ale nawet absolwent wyższej uczelni nie bardzo wie, co właściwie robi matematyk. Niniejsza książka powinna dać pewne wyobrażenie o tym, czym zajmowali się matematycy przez ostatnie 400 lat, miejscami dochodzi nawet do tematyki uprawianej przez nich współcześnie.
Książka przeznaczona jest dla osób, które nie zajmują się matematyką zawodowo, ale chciałyby zorientować się, czym zajmują się matematycy. Mogą to być inżynierowie, biolodzy, lekarze, architekci, może historycy itp. i oczywiście uczniowie starszych klas szkoły średniej.

SPIS TREŚCI

Czym zajmują się matematycy?

I. Liczby

1. Liczby pierwsze
1.1 Twierdzenie Euklidesa i sito Eratostenesa
1.2 Kilka pytań o liczby pierwsze

2. Granica, logarytm naturalny i rozmieszczenie liczb pierwszych
2.1 Pojęcie granicy i logarytm naturalny
2.2 Rozmieszczenie liczb pierwszych
2.3 Dwa "łatwe" twierdzenia

3. Sumy potęg i liczby wielokątne
3.1 Trzy twierdzenia o sumie potęg
3.2 Liczby wielokątne i twierdzenie Cauchy‘ego
3.3 Gauss

4. Kongruencje i rozpoznawanie pierwszości
4.1 Kongruencje
4.2 Dwa klasyczne twierdzenia: Wilsona i Fermata
4.3 Rozpoznawanie pierwszości: test Fermata
4.4 Fermat

5. Protokoły kryptograficzne
5.1 Szyfry symetryczne i uzgadnianie klucza
5.2 RSA

II. Figury i przestrzenie

6. Wielokąty foremne i parkietaże
6.1 Wielokąty foremne
6.2 Parkietaże płaszczyzny
6.3 Upakowania na płaszczyźnie
6.4 Gardner i Escher

7. Wzory Eulera i Picka
7.1 Wzór Eulera
7.2 Wzór Picka i wielokąty na kracie
7.3 Euler

8. Wielościany
8.1 Wielościany platońskie i archimedesowe
8.2 Parkietaże i upakowania w przestrzeni

9. Czwarty wymiar i wyżej
9.1 Hipersześcian i inne wielokomórki
9.2 Osobliwości wyższych wymiarów

10. Grupy symetrii
10.1 Symetrie wielokątów
10.2 Grupy permutacji, izomorfizm i twierdzenie Cayleya
10.3 Grupy obrotów wielościanów platońskich
10.4 Podgrupy i dzielniki normalne

III. Świat szeregów i funkcji

11. Szeregi liczbowe
11.1 Szereg geometryczny
11.2 Szeregi harmoniczny, anharmoniczny i...
11.3 ...i szeregi pokrewne

12. Pochodna
12.1 Pochodna i jej interpretacje
12.2 Obliczanie pochodnych
12.3 Funkcje przestępne i równania różniczkowe

13. Funkcje przestępne i "najpiękniejszy wzór matematyki"
13.1 Aproksymacje wielomianowe i rozwinięcia Maclaurina
13.2 Liczby zespolone i funkcje przestępne
13.3 Szalone rachunki Leonharda Eulera*

14. Całka oznaczona i wzór Newtona-Leibniza
14.1 Całka oznaczona: nieformalne wprowadzenie
14.2 Funkcja pierwotna i wzór Newtona-Leibniza
14.3 Newton i Leibniz

15. Obliczanie stałych i wzór Leibniza
15.1 Wzór Mercatora, ln 2 i okres podwojenia
15.2 Wzór Leibniza i obliczanie
15.3 Riemann

IV. Dyskretne pytania XX wieku

16. Zasada szufladkowa, kolorowanie i twierdzenie Sylvestera
16.1 Zasada szufladkowa
16.2 Kolorowanie, parzystość i polimina
16.3 Proste twierdzenie o prostych
16.4 Erdos

17. Twierdzenia ramseyowskie
17.1 Gra w trójkąty i liczby Ramseya
17.2 Twierdzenie van der Waerdena

18. Trzy gry Conwaya: kropki, krzyżyki i żołnierze
18.1 Kropki i krzyżyki
18.2 Żołnierze Conwaya
18.3 Conway

V. Nieprzeliczalność, niezupełność i nieobliczalność

19. Przeliczalność, nieprzeliczalność i liczby przestępne
19.1 Zbiory przeliczalne i zbiory nieprzeliczalne
19.2 Liczby kardynalne i twierdzenie Cantora
19.3 O liczbach przestępnych
19.4 Cantor i Hilbert

20. Arytmetyka Peana i twierdzenie Godla
20.1 Arytmetyka jako system formalny
20.2 Twierdzenie Godla

21. Granice obliczalności i problem stopu
21.1 Obliczalność i rozstrzygalność
21.2 Funkcja Rado i problem stopu
21.3 Godel i Turing

VI. Analogia, abstrakcja i nowoczesność

22. Ciała liczbowe i teoria Galois*
22.1 Ciała liczbowe i rozkład wielomianu
22.2 Symetrie ciał i grupy Galois
22.3 Abel i Galois

23. Od algorytmu Herona do równań różniczkowychi przestrzeni Banacha*
23.1 Algorytm Herona i punkty stałe
23.2 Równania różniczkowe, iteracje i przestrzenie Banacha
23.3 Polska szkoła matematyczna i Stefan Banach

Odpowiedzi

Indeks