ELEMENTARNY WSTĘP DO TYPOLOGII

ISBN: 978-83-68219-21-0

stron: 312

format: B5

oprawa: miękka

rok wydania: 2024

Celem podręcznika jest zapoznanie czytelnika z podstawami gałęzi matematyki zwanej topologią. Dziedzina ta rozwijała się szczególnie intensywnie na początku XX wieku, w czym istotny udział mieli polscy matematycy. Jednym z jej najważniejszych pojęć jest ciągłość. Topologia zajmuje się badaniem pewnych własności przestrzeni, które zostają zachowane przy działaniu przekształceń ciągłych. Bazując na intuicji geometrycznej, można uznać, że zbiory poddawane tego typu przekształceniom mogą znacząco zmieniać swój kształt (np. przez skręcanie czy rozciąganie), ale nie mogą być rozrywane. Dlatego też topologia zwana bywa czasem „gumową geometrią”. Topologia dostarcza cennych narzędzi badawczych innym dziedzinom matematyki, takim jak np. analiza funkcjonalna, analiza zespolona czy teoria równań różniczkowych. Podręcznik skierowany jest głównie do studentów początkowych lat studiów matematycznych. Aby w pełni przyswoić jego treść, konieczna jest znajomość teorii mnogości, podstaw analizy matematycznej, a także wskazane jest zapoznanie się z niektórymi pojęciami z algebry liniowej. Choć w tekście znajdują się też nawiązania do bardziej zaawansowanych wyników z pokrewnych dziedzin, ich zrozumienie nie wymaga od czytelnika dodatkowej wiedzy. W celu istotnego poszerzenia wiadomości z topologii zawartych w niniejszym podręczniku rekomendowane jest sięgnięcie do wielu pozycji literatury. Tekst podzielony jest na dwanaście różniących się tematycznie rozdziałów, z których każdy zakończony jest zestawem ćwiczeń pozwalających uzupełnić pominięte fragmenty rozumowań oraz zyskać biegłość w stosowaniu zdobytej wiedzy teoretycznej.

SPIS TREŚCI

Wprowadzenie 
Słowo wstępne 
Zawartość podręcznika 1
Zastosowane oznaczenia 
Rozdział 1. Przestrzenie metryczne 
1.1. Definicja metryki. Przykłady przestrzeni metrycznych 
1.2. Kule w przestrzeni metrycznej
1.3. Topologia generowana przez metrykę
1.4. Zagadnienie równoważności metryk 
1.5. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej 
1.6. Metryka pochodząca od normy 
1.7. Norma pochodząca od iloczynu skalarnego 
1.8. Ćwiczenia 
Rozdział 2. Przestrzenie topologiczne 
2.1. Definicja topologii. Przykłady przestrzeni topologicznych 51
2.2. Topologia indukowana 
2.3. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru 
2.4. Zbiory gęste, brzegowe oraz nigdziegęste 
2.5. Ośrodkowość przestrzeni topologicznej 
2.6. Ćwiczenia 
Rozdział 3. Twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a 
3.1. Średnica zbioru. Zstępujący ciąg zbiorów 
3.2. Twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych
3.3. Twierdzenie Baire’a
3.4. Wybrane zastosowania twierdzenia Baire’a 
3.5. Ćwiczenia 
Rozdział 4. Baza topologii i baza otoczeń punktu 
4.1. Baza topologii i jej własności 
4.2. Baza otoczeń punktu i jej własności 
4.3. Ćwiczenia 
Rozdział 5. Aksjomaty przeliczalności 
5.1. Zależności między aksjomatami przeliczalności 
5.2. Aksjomaty przeliczalności
a metryzowalność przestrzeni topologicznej 
5.3. Aksjomaty przeliczalności
a ośrodkowość przestrzeni topologicznej 
5.4. Podsumowanie 
5.5. Ćwiczenia 
Rozdział 6. Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy 
6.1. Ciągłość w przestrzeniach topologicznych 
6.2. Ciągłość w przestrzeniach metrycznych 
6.3. Jednostajna ciągłość w przestrzeniach metrycznych 
6.4. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu
odwzorowań ciągłych 
6.5. Przestrzeń odwzorowań ciągłych i ograniczonych 
6.6. Przestrzeń odwzorowań ciągłych na przedziale [a, b]o wartościach rzeczywistych 
6.7. Odwzorowanie otwarte, odwzorowanie domknięte,
homeomorfizm 
6.8. Przenoszenie topologii za pomocą bijekcji 
6.9. Ćwiczenia 
Rozdział 7. Topologia produktowa i topologia ilorazowa 
7.1. Topologia produktu
skończenie wielu przestrzeni topologicznych 
7.2. Topologia produktu dowolnie wielu
przestrzeni topologicznych 
7.3. Odwzorowania ciągłe
o wartościach w przestrzeni z topologią˛ produktową 
7.4. Ogólne własności topologii produktowej 
7.5. Topologia ilorazowa 
7.6. Ćwiczenia 
Rozdział 8. Aksjomaty oddzielania, lemat Urysona i twierdzenie Tietzego 
8.1. Podstawowe aksjomaty oddzielania i związki między nimi 
8.2. Lemat Urysona. Aksjomat T3 1/2 
8.3. Twierdzenie Tietzego 
8.4. Ćwiczenia 
Rozdział 9. Zwartość 
9.1. Definicja zwartości 
9.2. Zwartość a ciągowa zwartość w przestrzeni metrycznej 
9.3. Zwartość a domkniętość zbioru 
9.4. Zwartość a domkniętość i ograniczoność zbioru
w przestrzeni metrycznej 
9.5. Zwartość a ośrodkowość przestrzeni metrycznej
9.6. Zwartość a zupełność przestrzeni metrycznej 
9.7. Jednostajna ciągłość a zwartość 
9.8. Twierdzenie Weierstrassa 
9.9. Przestrzeń odwzorowań ciągłych
na zwartej przestrzeni metrycznej 
9.10. Twierdzenie Arzeli–Ascolego 
9.11. Przestrzeń zwarta jako przestrzeń normalna 
9.12. Kryterium zwartości Riesza 
9.13. Zwartość produktu przestrzeni zwartych 
9.14. Przestrzenie Lindelöfa 
9.15. Lokalna zwartość. Uzwarcenie Aleksandrowa 
9.16. Parazwartość 
9.17. Ćwiczenia 
Rozdział 10. Spójność 
10.1. Definicja spójności.
Warunki równoważne dotyczące spójności 
10.2. Obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe 
10.3. Badanie spójności za pomocą zbiorów rozgraniczonych 
10.4. Spójność produktu przestrzeni spójnych 
10.5. Składowe spójne 
10.6. Drogowa spójność i łukowa spójność 
10.7. Lokalna spójność 
10.8. Ćwiczenia 
Rozdział 11. Twierdzenia o punkcie stałym 
11.1. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym 
11.2. Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym 
11.3. Ćwiczenia 
Rozdział 12. Elementy teorii homotopii 
12.1. Homotopijność odwzorowań 
12.2. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej 
12.3. Hipoteza Poincarégo 
12.4. Ćwiczenia 
Bibliografia 
Skorowidz