DYSKRETNY UROK MATEMATYKI MA MATEMATYKA NIE TYLKO DLA MATEMATYKÓW

Co to jest matematyka? Czym zajmują się matematycy?

Rzeczy wstępne: zasada indukcji i granice

1 Zasada indukcji, sumowanie potęg i średnie
1.1 Odkrywanie wzorów i zasada indukcji
1.2 Sumowanie potęg
1.3 Średnie i nierówności

2 Granica ciągu
2.1 Intuicje i rachunki
2.2 Trochę teorii i algorytm Herona
2.3 Koło, kula i liczba ?
2.4 Archimedes

I Narzędzia: pochodna i całka

3 Pochodna
3.1 Pochodna i jej interpretacje
3.2 Podstawowe wzory
3.3 Kartezjusz i Fermat

4 Trochę teorii: ciągłość i twierdzenie Lagrange‘a
4.1 Ciągłość
4.2 Twierdzenia Lagrange‘a i jego konsekwencje
4.3 Lagrange

5 Pierwsze zastosowania
5.1 Monotoniczność i ekstrema
5.2 Zagadnienia optymalizacyjne i izoperymetria

6 Całka oznaczona
6.1 Nieformalne wprowadzenie
6.2 Definicja i własności całki oznaczonej
6.3 Riemann

7 Całka nieoznaczona i wzór Newtona-Leibniza
7.1 Całka nieoznaczona
7.2 Wzór Newtona-Leibniza
7.3 Newton i Leibniz

II Kilka bardzo ważnych funkcji

8 Równania różniczkowe i funkcje przestępne
8.1 Eksponenta
8.2 Funkcje trygonometryczne

9 Logarytm naturalny i arcus tangens
9.1 Logarytm naturalny
9.2 Arcus tangens

10 Aproksymacje wielomianowe
10.1 Aproksymacje liniowe i wypukłość
10.2 Wzór Taylora i rozwinięcia Maclaurina
10.3 Dowód wzoru Taylora*

11 Reguły de l‘H^opitala i liczba e
11.1 Reguły de l‘H^opitala
11.2 Liczba e
11.3 Dwa dowody niewymierności

12 Techniki całkowania
12.1 Całkowanie przez podstawienie
12.2 Całkowanie przez części

13 Aproksymacje całkowe i wzór Stirlinga
13.1 Aproksymacja sumy harmonicznej i stała Eulera-Mascheroniego
13.2 Oszacowanie silni i wzór Stirlinga

III Nieskończone sumy i zdumiewające równości

14 Szeregi liczbowe
14.1 Szereg geometryczny
14.2 Szereg harmoniczny i szeregi pokrewne
14.3 Iloczyny nieskończone i liczba ?

15 Szeregi potęgowe
15.1 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina
15.2 Operacje na szeregach

16 Trzy niezwykłe równości
16.1 Wzór Mercatora i ln 2
16.2 Wzór Leibniza i obliczanie ?
16.3 Szalone rachunki Leonharda Eulera
16.4 Euler

17 Liczby zespolone i funkcje przestępne
17.1 Liczby zespolone
17.2 Liczby zespolone i funkcje przestępne
17.3 Logarytm zespolony i wzór Leibniza

18 Szeregi Fouriera i ich zastosowania
18.1 Szeregi Fouriera
18.2 Kwestie zbieżności
18.3 Fourier

Interludium I

IV Świat fizyczny, geometria i prawdopodobieństwo

19 Rozwój, zanik i oscylacje
19.1 Równanie rozpadu i jego warianty
19.2 Układy drgające
19.3 Bernoulli

20 Torus i trąbka
20.1 Zasada Cavalieriego i objętość brył obrotowych
20.2 Pole powierzchni obrotowej i trąbka Torricellego

21 Matematyka i kartografia
21.1 Odwzorowanie walcowe Lamberta i twierdzenie Archimedesa
21.2 Odwzorowanie Merkatora

22 Igła Buffona i wybór sekretarki
22.1 Prawdopodobieństwo geometryczne i igła Buffona
22.2 Problem sekretarki

23 Zmienna losowa, rozkład dwumianowy i błądzenie losowe
23.1 Zmienna losowa i jej rozkład
23.2 Miary rozproszenia i nierówność Czebyszewa
23.3 Rozkład dwumianowy i aproksymacja gaussowska
23.4 Błądzenie losowe

V Dyskretny urok arytmetyki wyższej

24 Euklides, Euklides, Euklides
24.1 Algorytm Euklidesa i jego konsekwencje
24.2 Twierdzenie Euklidesa i sito Eratostenesa

25 Kongruencje i ich zastosowania
25.1 Kongruencje
25.2 Dwa klasyczne twierdzenia: Wilsona i Fermata
25.3 Rozpoznawanie pierwszości: test Fermata
25.4 O tasowaniu kart

26 Funkcja Eulera i pierwiastki pierwotne
26.1 Funkcja Eulera i twierdzenie Eulera
26.2 Pierwiastki pierwotne i reszty kwadratowe
26.3 Liczby Fermata i twierdzenie Dirichleta

27 Protokoły kryptograficzne
27.1 Szyfry symetryczne i uzgadnianie klucza
27.2 RSA

28 Kilka pytań o liczby pierwsze
28.1 Hipoteza Goldbacha i jej warianty
28.2 Liczby bliźniacze i tematy pokrewne
28.3 Twierdzenie Czebyszewa i hipoteza Sierpińskiego

29 Rozmieszczenie liczb pierwszych
29.1 Zeta Riemanna i twierdzenie Eulera
29.2 Twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych i hipoteza Riemanna

30 Twierdzenie Lagrange‘a o sumie czterech kwadratów
30.1 Lemat Minkowskiego i twierdzenie Fermata-Eulera
30.2 Twierdzenia Lagrange‘a

31 Sumy potęg i liczby wielokątne
31.1 Sumy potęg i twierdzenie Hilberta-Waringa
31.2 Liczby wielokątne i twierdzenie Cauchy‘ego
31.3 Gauss

32 Równania diofantyczne
32.1 Równania Pitagorasa i Fermata
32.2 Równanie Pella i problem trzody Heliosa
32.3 Wiles

VI Między kombinatoryką, geometrią i algebrą

33 Grafy, drzewa i wzór Eulera
33.1 Ekspresem przez teorię grafów
33.2 Grafy planarne i wzór Eulera

34 Twierdzenie Picka i kolorowanie map
34.1 Twierdzenie Picka i wielokąty na kracie
34.2 Twierdzenie o czterech barwach i kolorowanie grafów
34.3 Dwa zadania o podziale

35 Wielokąty foremne i parkietaże
35.1 Wielokąty foremne
35.2 Parkietaże płaszczyzny
35.3 Upakowania na płaszczyźnie
35.4 Gardner i Escher

36 Wielościany, parkietaże i upakowania przestrzeni
36.1 Wielościany platońskie i archimedesowe
36.2 Parkietaże i upakowania w przestrzeni

37 Liczby zespolone i konstrukcje geometryczne
37.1 Postać trygonometryczna i wzór de Moivre‘a
37.2 Konstrukcje wielokątów foremnych
37.3 Trzy klasyczne problemy konstrukcyjne
37.4 Euklides i jego Elementy

38 Przekroje i krzywe stożkowe
38.1 Przekroje wielościanów platońskich
38.2 Przekroje stożka i krzywe stożkowe
38.3 Krzywe stożkowe a równania algebraiczne

39 Czwarty wymiar i wyżej
39.1 Hipersześcian i inne wielokomórki
39.2 Osobliwości wyższych wymiarów
39.3 Poincare

VII Twierdzenia o istnieniu i gry matematyczne

40 Być albo nie być, czyli kwestie istnienia
40.1 Zasada szufladkowa
40.2 Kolorowanie, parzystość i polimina
40.3 Erdos

41 Punkty, proste i twierdzenie Sylvestera
41.1 Punkty i odległości
41.2 Proste twierdzenie o prostych

42 Twierdzenia ramseyowskie
42.1 Gra w trójkąty i liczby Ramseya
42.2 Twierdzenie van der Waerdena

43 Trzy gry Conwaya: kropki, krzyżyki i żołnierze
43.1 Kropki i krzyżyki
43.2 Żołnierze Conwaya
43.3 Conway

44 NIM i funkcja Grundy‘ego
44.1 NIM
44.2 Funkcja Grundy‘ego i NIM Wythoffa
44.3 Gry z niepełną informacją
44.4 Von Neumann

Interludium II

VIII Nieskończoność, nieobliczalność i niezupełność

45 Przeliczalność, nieprzeliczalność i liczby przestępne
45.1 Zbiory przeliczalne i zbiory nieprzeliczalne
45.2 Liczby kardynalne i twierdzenie Cantora
45.3 O liczbach przestępnych
45.4 Cantor i Hilbert

46 Granice obliczalności i problem stopu
46.1 Obliczalność i rozstrzygalność
46.2 Funkcja Rado i problem stopu
46.3 Turing

47 Arytmetyka Peana i twierdzenie Godla
47.1 Arytmetyka jako system formalny
47.2 Twierdzenie Godla
47.3 Peano i Godel

48 Teoria ZF, pewnik wyboru i hipoteza continuum
48.1 Aksjomaty teorii mnogości
48.2 Hipoteza continuum i jej uogólnienia
48.3 Sierpiński, Banach i Tarski

O polskiej szkole matematycznej

Odpowiedzi i wskazówki