ELEMENTY GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ W ZADANIACH

ISBN: 978-83-7798-298-3   178 stron format: B5 oprawa: miękka Rok wydania: 2021

Podręcznik jest omówieniem pojęć i twierdzeń geometrii różniczkowej w zakresie pierwszych lat studiów matematycznych oraz technicznych. Podręcznik składa się z dwóch części.
W pierwszej części zawierającej trzy rozdziały pojęcia i własności przestrzeni wektorowej, operatory liniowe i formy kwadratowe oraz przedstawiono podstawy rachunku tensorowego niezbędne dla zrozumienia pozostałej części materiału.
Część druga składa się z trzech rozdziałów, w których przedstawiono podstawowe pojęcia teorii krzywych w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, krótki wykład z zakresu geometrii wewnętrznej powierzchni zwracając szczególną uwagę na geometryczną interperetację wprowadzonych pojęć. W każdym rozdziale zamieszczone są liczne przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania.
Definicje, twierdzenia, wnioski, uwagi oraz przykłady i wzory są oznaczone podwójnymi numerami, z których pierwszy oznacza numer rozdziału, a drugi jest kolejnym numerem definicji, twierdzenia bądź uwagi, przykładu, względnie wzoru w danym rozdziale.
Z podręcznika oprócz studentów Uniwersyteckich oraz Politechnik z powodzeniem mogą również korzystać doktoranci.

SPIS TREŚCI

Przedmowa

ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ

1. Podstawowe pojęcia przestrzeni wektorowej
1.1 Określenie i własności przestrzeni wektorowej
1.2 Podprzestrzenie wektorowe. Suma i iloczyn podprzestrzeni
1.3 Liniowa zależność i niezależność układu wektorów
1.4 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej
1.5 Macierz przejścia. Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy
1.6 Przestrzeń euklidesowa
1.7 Układy ortogonalne
1.8 Zadania
1.9 Pytania

2. Operatory liniowe. Formy kwadratowe
2.1 Określenie operatora liniowego i przykłady
2.2 Macierz Mmxn(R) operatora liniowego C(Rn,Rm)
2.3 Związek między macierzami operatora liniowego w różnych bazach
2.4 Forma liniowa
2.5 Zmiana współczynników formy liniowej przy zmianie bazy
2.6 Formy dwuliniowe i kwadratowe
2.7 Operator wieloliniowy
2.8 Zadania
2.9 Pytania

3. Algebra tensorowa
3.1 Określenie tensora
3.2 Iloczyn tensorowy
3.3 Algebra tensorowa
3.4 Operacja podnoszenia i opuszczania wskaźników
3.5 Pochodna kowarianta pola tensorowego
3.6 Zadania
3.7 Pytania

ELEMENTY GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ I NOMOGRAFII

4. Krzywe w przestrzeni euklidesowej E*
4.1 Podstawowe pojęcia
4.2 Naturalne przedstawienia parametryczne krzywej
4.3 Styczna do krzywej. Płaszczyzna ściśle styczna
4.4 Trójścian Freneta i wzory Freneta
4.5 Zadania
4.6 Pytania

5. Powierzchnie w przestrzeni Euklidesowej w E‘1
5.1 Powierzchnia i jej przedstawienia parametryczne
5.2 Współrzędne krzywoliniowe (współrzędne Gaussa)
5.3 Tensorowe pola na powierzchni
5.4 Płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni
5.5 Pierwsza kwadratowa forma powierzchni. Tensor metryczny powierzchni
5.6 Kąt między krzywymi na powierzchni
5.7 Pole powierzchni
5.8 Druga kwadratowa forma powierzchni
5.9 Krzywizna Gaussa
5.10 Klasyfikacja punktów powierzchni
5.11 Wzory Gaussa i Weingartena na pochodne ry i m*
5.12 Symbole Christoffela
5.13 Wzory Gaussa-Codazziego. Twierdzenie Gaussa (Theorema Egre-gium)
5.14 Podstawowe twierdzenie teorii powierzchni
5.15 Odwzorowania powierzchni
5.16 Geometria wewnętrzna powierzchni
5.17 Krzywizna krzywej leżącej na powierzchni
5.18 Krzywizna geodezyjna
5.19 Linia geodezyjna (geodektyka)
5.20 Zadania
5.21 Pytania

6. Elementy nomografii
6.1 Cel nomografii. Skale funkcyjne
6.2 Nomogramy o punktach współliniolwych. forma kanoniczna
6.3 Klasyfikacja równań, dla których można skonstruować nomogram
o punktach współlniowych
6.4 Nomogramy o punktach współliniowych dla funkcji więcej
niż trzech zmiennych
6.5 Siatki funkcyjne. Nomogramy siatkowe
6.4 Związek między nomogramami o punktach współliniowych
i nomogramami siatkowymi
6.7 Zadania
6.8 Pytania

Odpowiedzi do zadań
Odpowiedzi do zadań rozdziału 1. części I
Odpowiedzi do zadań rozdziału 2. części I
Odpowiedzi do zadań rozdziału 3, części I
Odpowiedzi do zadań rozdziału 4, części II
Odpowiedzi do zadań rozdziału 5, części II
Odpowiedzi do zadań rozdziału 6, części II

Literatura