ANALIZA I MATERIAŁ DO WYKŁADU

ISBN: 978-83-7283-984-8

264 stron
format: B5
oprawa: miękka
Rok wydania: 2019

Wykładowcy starający się przedstawić studentom 1-2 roku podstawy myślenia matematycznego zderzają się - po stronie początkujących studentów - z problemami postaci: co różni definicję od twierdzenia? co takiego zawiera dowód, że ma być uznany za uzasadnienie akurat tego, a nie innego twierdzenia? Na czym polega rozumowanie, czyli kolejne zdania i wzory prowadzące od wypisanych wcześniej założeń do sformułowanej niżej tezy? Co to znaczy, że jakieś twierdzenie jest wnioskiem z innego?W prezentowanym czytelnikowi tekście staram się przedstawić w możliwie spójny i prosty sposób podejście zdecydowanie teoretyczne, choć istotną część kursu stanowią rozważania i oszacowania dotyczące praktycznej (czyli także - przybliżonej) obliczalności wprowadzanych stopniowo pojęć. Uprzedzam, że czytelnik nie znajdzie tu jednak aksjomatycznej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych. W istocie, przyjmując za punkt wyjścia wiedzę "szkolną" w zakresie podstawowych działań na liczbach rzeczywistych, ograniczamy się do sformułowania jedynie trzech aksjomatów związanych z relacją porządku x < y dla x, y ? R - resztą zajmuje się przecież każdy równoległy kurs Algebry. Pozwala to na stopniowe wprowadzanie niezbędnego w matematyce poziomu precyzji, a celem takiej koncepcji jest obniżenie bariery abstrakcji, jaką dla absolwenta szkoły średniej stanowi niewypowiedziana reguła: zapomnijcie o wszystkim, czego się do tej pory dowiedzieliście o liczbach - Matematyka zaczyna się dopiero teraz.ze Wstępu

SPIS TREŚCI

Wstęp 1

Co wiemy o liczbach rzeczywistych? 1.1 Aksjomaty dla relacji porządku w R 1.2 Indukcja 1.3 Konsekwencje aksjomatu ciągłości 2 Na kresach 2.1 Kresy zbioru: górny i dolny 2.2 Pierwiastki i potęga o wykładniku wymiernym 2.3 Potęga o wykładniku rzeczywistym 3 Ciągiem do granicy 3.1 Ciągi liczbowe3.2 Granica ciągu3.3 Ważne przykłady 3.4 Własności granic 3.5 Ważne przykłady - cd. 4 Między granicą dolną i górną 4.1 Granice: dolna i górna 4.2 Granice niewłaściwe4.3 Podciągi 4.4 Ciągi Cauchy‘-ego4.5 Funkcja wykładnicza - własności 5 Do szeregu! 5.1 Szeregi liczbowe 5.2 Kryteria zbieżności 5.3 Rozwinięcie ex w szereg 5.4 Szeregi potęgowe 5.5 Co jeszcze wynika z bezwzględnej zbieżności? 6 Funkcje z elementarza 6.1 Oznaczenia i terminologia 6.2 Ciągłość funkcji6.3 Własności funkcji ciągłych 6.4 Przykłady funkcji elementarnych6.5 Funkcje monotoniczne i do nich odwrotne 6.6 Funkcje trygonometryczne - nieco dokładniej6.7 Szeregi potęgowe jako funkcje 7 Ciągłość wg Cauchy‘-ego 7.1 Nieco topologii 7.2 Punkty nieciągłości 7.3 Granice funkcji 7.4 Granice niewłaściwe i asymptoty 7.5 Funkcje monotoniczne 8 Jak podejść do pochodnej?8.1 Pochodne8.2 Własności pochodnej 8.3 Konsekwencje różniczkowalności 8.4 Wypukłość funkcji 8.5 Reguła de L‘-H