WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII MNOGOŚCI

ISBN: 978-83-7880-785-8

280 stron
format: B5
oprawa: miękka
Rok wydania: 2022

Monografia stanowi zwarte omówienie wybranych zagadnień teorii mnogości z szerokim uwzględnieniem zadań i problemów, zarówno do samodzielnego rozwiązania jak i do zapoznania się z metodami ich rozwiązywania. Nowością tej publikacji są przykłady projektów, które mogą być zaproponowane studentom do opracowania w ramach dodatkowej aktywności uzupełniającej standardowy proces dydaktyczny.

SPIS TREŚCI

1. Elementy logiki
1.1. Algebraiczna metoda weryfikacji tautologii
1.2. Rachunek kwantyfikatorów

2. Zbiory
2.1. Tożsamości na zbiorach
2.2. Funkcje charakterystyczne
2.3. Operacja różnicy symetrycznej zbiorów
2.4. Równania na zbiorach
2.5. Iloczyn kartezjański
2.6. Układy równań na zbiorach
2.7. Indeksowane rodziny zbiorów

3. Relacje
3.1. Relacje binarne
3.2. Relacje równoważności
3.3. Przekroje relacji równoważności
3.4. Sumy mnogościowe relacji równoważności
3.5. Częściowy porządek
3.6. Dobry porządek, twierdzenie Zermela o dobrym uporządkowaniu

4. Odwzorowania
4.1. Injekcje, surjekcje na dany zbiór
4.2. Bijekcje na dany zbiór
4.3. Funkcje odwrotne
4.4. Inwolucje
4.5. Operacje algebraiczne na funkcjach ściśle monotonicznych
4.6. Pomocnik analityczny
4.7. Zestaw zadań ćwiczeniowych

5. Pewnik wyboru (Axiom of Choice, AC)
5.1. Funkcje wyboru na rodzinach zbiorów skończonych
5.2. Różnowartościowe funkcje wyboru
5.3. Zasada wyborów zależnych

6. Lemat Kuratowskiego-Zorna

7. Twierdzenie Cantora-Bernsteina

8. Moce zbiorów
8.1. Wybór podstawowych faktów
8.2. Konstrukcja Cantora-Kóniga bijekcji /: (0,1] x (0,1] -> (0,1]
8.3. Podział rodziny prostych w Rn
8.4. Zadania
8.5. Bazy Hamela, normy

9. Nieskończoność zbioru liczb pierwszych
9.1. Funkcje charakterystyczne okresowe
9.2. Dowód mnogościowy nieskończoności zbioru liczb pierwszych

10. Indukcja matematyczna

11. Arytmetyka Peana
11.1. Zasada indukcji matematycznej w posetach
11.2. Twierdzenie Nasha-Williamsa

12. Przykładowy zestaw zadań na kolokwium
12.1. Zestaw A
12.2. Zestaw B
12.3. Zestaw C
12.4. Zestaw D
12.5. Zestaw E
12.6. Teoria

13. Dodatki
13.1. Liczby algebraiczne i liczby przestępne
13.2. Przykłady liczb algebraicznych i przestępnych
13.3. Twierdzenie Lindemanna dla macierzy
13.4. Ciekawostka na temat przestępności liczb Tre oraz tt + e
13.5. Liczby algebraiczne postaci P(T)^^
13.6. Jeszcze jeden dowód nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych
13.7. Punkty stałe odwzorowań f:X->X, takich że fp = idx
13.8. O pewnym problemie Stanisława Ulama o odwzorowaniu Peano
13.9. Twierdzenie Sierpińskiego o łańcuchu nieskończonym
13.10. Twierdzenie Cantora-Bernsteina a topologia
13.10.1. Wybrane własności homeomorfizmów
13.10.2. Twierdzenie Cantora-Bernsteina i homeomorfizmy
13.10.3. Położenie zbiorów w przestrzeni
13.10.4. Specjalne pary niehomeomorficznych przestrzeni topologicznych
13.11. Wersja twierdzenia Cantora-Bernsteina dla zbiorów gęstych
13.12. Problem Probieniusa o monetach
13.13. Ideały i filtry w posetach
13.14. Przestrzenie metryczne - podstawowe definicje

14. Przewodnik po projektach

15. Aksjomaty teorii mnogości Zermela-Fraenkla

16. Oznaczenia

Bibliografia