MATEMATYKA DAWNA I NOWA TOM I FUNKCJE I PRZESTRZENIE

Wstęp

I Liczby

1 Liczby naturalne i zasada indukcji matematycznej
1.1 Odkrywanie wzorów i zasada indukcji
1.2 Dwumian Newtona i ?-notacja

2 Liczby rzeczywiste i lemat Cantora
2.1 Liczby wymierne i niewymierne
2.2 Kresy i lemat Cantora

3 Ciągi i granice
3.1 Intuicje i rachunki
3.2 Trochę teorii i algorytm Herona
3.3 Liczba ?
3.4 Archimedes

4 Szeregi geometryczne i ułamki łańcuchowe
4.1 Szeregi geometryczne i liczby rzeczywiste
4.2 Ułamki łańcuchowe

5 Przeliczalność, nieprzeliczalność i liczby kardynalne
5.1 Przeliczalność, nieprzeliczalność i hipoteza continuum
5.2 Liczby kardynalne i twierdzenie Cantora
5.3 O liczbach przestępnych
5.4 Cantor

II Pochodna, całka i twierdzenie Newtona-Leibniza

6 Pochodna
6.1 Pochodna, prędkość i podstawowe wzory
6.2 Pierwsze zastosowania
6.3 Kartezjusz i Fermat

7 Całka oznaczona
7.1 Nieformalne wprowadzenie
7.2 Definicja i własności całki oznaczonej
7.3 Riemann

8 Całka nieoznaczona i wzór Newtona-Leibniza
8.1 Całka nieoznaczona
8.2 Wzór Newtona-Leibniza
8.3 Newton i Leibniz

9 Ciągłość
9.1 Intuicje i przykłady
9.2 Dwa formalizmy
9.3 Jednostajna ciągłość i całkowalność funkcji ciągłych
9.4 Lagrange i Cauchy

10 Od lematu Cantora do twierdzenia Lagrange‘a
10.1 Dwa twierdzenia o ciągłości
10.2 Twierdzenia Lagrange‘a i lemat o funkcji stałej
10.3 Twierdzenie o wartości średniej dla całek i jego konsekwencje
10.4 Zbiór Cantora i funkcja Cantora*

III Funkcje przestępne i aproksymacje

11 Funkcje przestępne i równania różniczkowe
11.1 Eksponenta
11.2 Funkcje trygonometryczne
11.3 Dwa klasyczne zastosowania

12 Funkcje przestępne i całki
12.1 Logarytm naturalny
12.2 Funkcje kołowe

13 Aproksymacje liniowe, reguły de l‘H^opitala i wypukłość
13.1 Aproksymacje liniowe
13.2 Wypukłość
13.3 Reguły de L‘H^opitala i twierdzenie Cauchy‘ego
13.4 Bernoulli

14 Aproksymacje wielomianowe i liczba e
14.1 Wzory Maclaurina i Taylora
14.2 Rozwinięcia Maclaurina
14.3 Liczba e
14.4 Taylor i Maclaurin

15 W kręgu twierdzenia Weierstrassa
15.1 Twierdzenie Weierstrassa
15.2 Zbieżność punktowa a zbieżność jednostajna
15.3 Weierstrass

IV Od technik całkowania do funkcji gamma
i transformaty Laplace‘a

16 Techniki całkowania
16.1 Całkowanie przez podstawienie
16.2 Całkowanie przez części i redukcje
16.3 Całkowanie funkcji wymiernych

17 Objętości, pola powierzchni i rzutowanie Merkatora
17.1 Zasada Cavalieriego i objętość kuli
17.2 Długość krzywej i pole powierzchni obrotowej
17.3 Kilka słów o kartografii

18 Całki podwójne i współrzędne biegunowe
18.1 Całki podwójne i iterowane
18.2 Współrzędne biegunowe i zamiana zmiennych

19 Obszary nieograniczone i całki niewłaściwe
19.1 Całki niewłaściwe
19.2 Kryteria zbieżności
19.3 Nadzwyczaj użyteczna całka
19.4 Crelle i Liouville

20 Aproksymacje całkowe i funkcja gamma
20.1 Aproksymacje całkowe
20.2 Funkcja gamma
20.3 Stirling

21 Transformata Laplace‘a
21.1 Własności transformaty Laplace‘a
21.2 Transformata Laplace‘a i równania różniczkowe

V Od aproksymacji do sum dokładnych: szeregi

22 Szeregi liczbowe
22.1 Szereg harmoniczny i kryterium całkowe
22.2 Dwa dalsze kryteria: porównawcze i ilorazowe
22.3 Dwa typy zbieżności
22.4 Kryteria d‘Alemberta i Cauchy‘ego
22.5 D‘Alembert

23 Rozwinięcia Maclaurina
23.1 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina
23.2 Funkcje zadane szeregiem potęgowym
23.3 Dwa dowody niewymierności
23.4 Hermite i Lindemann

24 Operacje na szeregach i wzór Leibniza
24.1 Operacje na szeregach
24.2 Wzór Leibniza i obliczanie ?
24.3 Szalone rachunki Leonharda Eulera*
24.4 Euler

25 Liczby zespolone i funkcje przestępne
25.1 Liczby zespolone
25.2 Liczby zespolone i funkcje przestępne
25.3 Logarytm zespolony i wzór Leibniza

26 Szeregi Fouriera i ich zastosowania
26.1 Szeregi Fouriera
26.2 Kwestie zbieżności
26.3 Fourier

VI Geometria i aproksymacje

27 Przestrzenie liniowe
27.1 Określenia i przykłady
27.2 Niezależność, baza i wymiar
27.3 Pierwsze zastosowania

28 Norma, iloczyn skalarny i przestrzenie euklidesowe
28.1 Metryka i norma
28.2 Iloczyn skalarny i przestrzenie euklidesowe
28.3 Ortogonalność i kąty

29 Rzut ortogonalny i aproksymacje
29.1 Bazy ortonormalne i ortogonalizacja Grama-Schmidta
29.2 Rzut ortogonalny i dopełnienie ortogonalne
29.3 Aproksymacje i szeregi Fouriera
29.4 Hilbert

VII Macierze i przekształcenia liniowe

30 Macierze i metoda eliminacji
30.1 Działania na macierzach
30.2 Metoda eliminacji i odwracanie macierzy
30.3 Macierze elementarne i kryterium odwracalności

31 Przekształcenia liniowe
31.1 Przekształcenia liniowe a macierze
31.2 Jądro i obraz przekształcenia liniowego
31.3 Przekształcenia liniowe L : F
n Fn

32 Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
32.1 Rząd macierzy
32.2 Układy równań liniowych i twierdzenie Kroneckera-Capellego

33 Wyznaczniki
33.1 Małe wyznaczniki
33.2 Własności wyznaczników
33.3 Wzory Cramera i macierz odwrotna
33.4 Takakazu Seki

34 Wartości i wektory własne, diagonalizacja i potęgowanie
34.1 Wartości i wektory własne, wielomian charakterystyczny
34.2 Diagonalizacja
34.3 Potęgowanie macierzy i twierdzenie Cayleya-Hamiltona

35 Zastosowania diagonalizacji i wektorów własnych
35.1 Sieci i rankingi
35.2 Dyskretne układy dynamiczne i procesy Markowa

36 Przekształcenia ortogonalne
36.1 Przekształcenia i macierze ortogonalne
36.2 Przekształcenia ortogonalne na płaszczyźnie
36.3 Przekształcenia ortogonalne w przestrzeni

VIII Przestrzenie metryczne, topologia
i aksjomat wyboru

37 Przestrzenie metryczne
37.1 Metryki i zbiory otwarte
37.2 Zbiory domknięte, domknięcie i wnętrze
37.3 Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych

38 Zupełność i twierdzenie Baire‘a
38.1 Własności przestrzeni zupełnych
38.2 Twierdzenie Baire‘a

39 Przestrzenie topologiczne
39.1 Podstawowe pojęcia topologii
39.2 Ciągłość i topologia podprzestrzeni
39.3 Topologia iloczynu kartezjańskiego i dwa klasyczne przykłady
39.4 Przestrzenie ilorazowe, torus i butelka Kleina*

40 Aksjomaty przeliczalności i oddzielania
40.1 Aksjomaty przeliczalności i ośrodkowość
40.2 Aksjomaty oddzielania

41 Zwartość
41.1 Przestrzenie zwarte
41.2 Funkcje ciągłe na przestrzeniach zwartych
41.3 Zwartość w przestrzeniach metrycznych

42 Spójność
42.1 Spójność i łukowa spójność
42.2 Lokalna spójność i twierdzenie Hahna-Mazurkiewicza

43 Dwa twierdzenia o punkcie stałym
43.1 Twierdzenie Brouwera i jego zastosowania
43.2 Twierdzenie Banacha i równania różniczkowe
43.3 Banach

44 Topologia przestrzeni funkcyjnych
44.1 Metryki na przestrzeniach funkcyjnych
44.2 Ciągłość przekształceń liniowych

45 Aksjomat wyboru i jego konsekwencje
45.1 Aksjomat wyboru i lemat Kuratowskiego-Zorna
45.2 Dwa klasyczne zastosowania

Epilog

Uwagi o literaturze

Odpowiedzi i wskazówki

Indeks