MATEMATYCZNE PODSTAWY ALGORYTMÓW OPARTYCH NA WIELOWYMIAROWYCH KOPUŁACH ARCHIMEDESOWSKICH

ISBN: 978-83-922508-6-9

164 stron
format: B5
oprawa: miękka
Rok wydania: 2011

Natura wielu zjawisk i procesów zachodzących w szeroko rozumianej rzeczywistości fizycznej jest bardzo złożona. Podejmowane próby ich opisu prowadzą do konstrukcji rozmaitych modeli. W tym postępowaniu można wskazać dwa odmienne podejścia: deterministyczne oraz probabilistyczne. Oba powinny uwzględniać wielowymiarową strukturę badanych zjawisk. W rozprawie proponujemy narzędzia rozwijające metody podejścia probabilistycznego do opisu rzeczywistości fizycznej. Jednym z centralnych zagadnień eksploracji danych (data mining) jest tworzenie modeli wielowymiarowych, w szczególności modeli wektorów losowych. Dla przypadku dwuwymiarowego istnieje wiele sprawdzonych i uznanych metodologii prowadzących do budowy takich modeli. W przeciwieństwie do tego, zestaw narzędzi matematycznych do konstrukcji i opisu modeli o wyższych wymiarach jest ubogi. Są to głównie metody liniowe lub metody wykorzystujące wielokrotne złożenia dwuwymiarowych projekcji. Dla wysokich wymiarów tradycyjne modele szybko stają się bardzo złożone, na przykład o zbyt wielu współczynnikach. Pociąga to za sobą, między innymi, wymaganie próbek o bardzo dużej liczności- powoduje również znaczącą komplikację algorytmów estymacji współczynników. Z drugiej strony, motywowana tym stanem rzeczy tendencja do upraszczania modeli prowadzi do ich nieadekwatności w szeregu zastasowań lub ich słabego uzasadnienia teoretycznego. W konsekwencji, wskazane powody sprawiają, że zbudowane modele mogą nie posiadać pożądanych własności, zwłaszcza dla zastosowań technicznych (różniczkowalność, gładkość). Niewątpliwie, rozwinięcie teorii wielowymiarowych kopuł archimedesowskich przyczyni się do wzmocnienia fundamentu matematycznego eksploracji danych.

SPIS TREŚCI

1. Wprowadzenie 2. Określenia wprowadzające 2.1. Definicja n-kopuły archimedesowskiej 2.2. Funkcje oparte na definicji kopuły archimedesowskiej 2.2.1. Kopuły kwazi-archimedesowskie 2.2.2. Kopuły archimaksowe 2.2.3. Zagnieżdżone kopuły archimedesowskie 3. Rodziny n-kopuł archimedesowskich 3.1. Klasy funkcji odpowiadające twierdzeniom podrozdziału 2.1 3.1.1. Funkcje n-absolutnie monotoniczne 3.1.2. Funkcje n-monotoniczne 3.1.3. Funkcje Williamsona 3.2. Granice ciągów funkcji n-absolutnie monotonicznych (n-monotonicznych) 3.2.1. Podstawowe twierdzenie 3.2.2. Domknięcia wyspecyfikowanych rodzin funkcji 4. Dekompozycja n-kopuł archimedesowskich 5. Charakteryzacja n-kopuł archimedesowskich 5.1. Charakteryzacja algebraiczna 5.2. Charakteryzacja różniczkowa 6. Struktura probabilistyczna n-kopuł archimedesowskich 6.1. Lematy geometryczne 6.2. Rozkłady funkcji jednostajnej reprezentacji 6.2.1. Rozkład wektora losowego V(1) 6.2.2. Rozkład wektora losowego V(2) 6.2.3. Rozkład wektora losowego V(3) 6.2.4. Rozkład wektora losowego V(4) 7. Generatory wektorowe 7.1. Indukowane struktury algebraiczne 7.2. Indukowane równania różniczkowe 7.3. Zastosowania generatorów wektorowych 7.3.1. Pole atrakcji 7.3.2. Masa składowej singularnej 7.3.3. Kryterium 8. Generatory diagonalne 8.1. Przypadek wielowymiarowy 8.1.1. Kopuły diagonalne 8.2. Przypadek dwuwymiarowy 8.2.1. Jednoparametrowe rodziny generatorów diagonalnych (funkcji Kendalla) 8.2.2. Struktury algebraiczne indukowane przez dystrybuanty8.2.3. Cięcia diagonalne kopuł normalnych 8.3. Dyskusja dwóch twierdzeń 9. Nieparametryczne miary zależności 9.1. Wielowymiarowy analogon miary zależności tau Kendalla9.1.1. Formuły na wskaźnik rn(H) dla ro-kopuł archimedesowskich 9.1.2. Własność asymptotyczna ciągu 9.2. Wielowymiarowe analogony miary zależności ro Spearmana 9.2.1. Formuły na wskaźniki dla n-kopuł archimedesowskich9.2.2. Własności asymptotyczne ciągów 10. Uwagi końcowe 10.1. Konstrukcja kopuł z przeciwległych cięć diagonalnych 10.2. Konstrukcja kopuł dualnych 10.3. Sprzężenia kopuł 10.4. Miary zależności dla kopuł archimedesowskich Bibliografia Skorowidz pojęć i symboli