MARKOWE WYKŁADY Z MATEMATYKI - ANALIZA

ISBN: 978-83-62780-17-4

355 stron
format: B5
oprawa: miękka
Rok wydania: 2013

Cykl książek Markowe wykłady z matematyki może służyć jako podstawowy podręcznik dla studentów uczelni technicznych, a także jako podręcznik uzupełniający dla studentów matematyki. Autor omawia najważniejsze pojęcia i metody, ale szczególny nacisk kładzie na konkretne, interesujące problemy.W niniejszym tomie Czytelnik poznaje elementy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej - granice, pochodne, całki, szeregi oraz podstawy równań różniczkowych.

SPIS TREŚCI

Wstęp

I. Analiza z lotu ptaka: granica, pochodna i całka
1. Prolog
1.1. Odkrywanie wzorów i zasada indukcji
1.2. Dwumian Newtona
2. Granica ciągu
2.1. Intuicje i rachunki
2.2. Trochę teorii i algorytm Herona
2.3. Liczba pi
2.4. Archimedes
3. Granica i ciągłość. Eksponenta i logarytm naturalny
3.1. Granice, asymptoty i aproksymacje
3.2. Ciągłość
3.3. Eksponenta, logarytm naturalny i okres podwojenia
4. Pochodna: pierwsze podejście
4.1. Pochodna i prędkość
4.2. Geometryczne spojrzenie na pochodną
4.3. Wykresy wielomianów
4.4. Kartezjusz i Fermat
5. Całka: pierwsze podejście
5.1. Całka oznaczona - nieformalne wprowadzenie
5.2. Całka nieoznaczona i wzór Newtona-Leibniza
5.3. O sumowaniu potęg: dwie aproksymacje

II. Pochodne i aproksymacje
6. Obliczanie pochodnych
6.1. Pochodna iloczynu i pochodna ilorazu
6.2. Pochodna funkcji złożonej
6.3. Funkcja odwrotna i jej pochodna
7. Funkcje trygonometryczne i kołowe
7.1. Funkcje trygonometryczne
7.2. Funkcje kołowe
8. Kilka twierdzeń o istnieniu
8.1. Dwa twierdzenia o ciągłości
8.2. Twierdzenia Lagrange‘a i jego konsekwencje
8.3. Reguły de l‘Hospitala i twierdzenie Cauchy‘ego
8.4. Lagrange, Cauchy i Weierstrass
9. Monotoniczność, ekstrema i wypukłość
9.1. Monotoniczność i ekstrema
9.2. Zadania na maksimum i minimum. Izoperymetria
9.3. Wypukłość
10. Aproksymacje wielomianowe
10.1. Aproksymacje liniowe i wzór Taylora
10.2. Rozwinięcia Maclaurina
10.3. Krótki dowód wzoru Taylora*
10.4. Anglicy i Szkoci
11. Przybliżone rozwiązywanie równań
11.1. Połowienie przedziału i pierwiastki wielomianów
11.2. Metoda Newtona i algorytm Herona

III. Całka: pole, długość i objętość
12. Całka oznaczona
12.1. Definicja i własności całki oznaczonej
12.2. Wzór Newtona-Leibniza
12.3. Twierdzenie o postaci funkcji pierwotnej
13. Techniki całkowania
13.1. Całkowanie przez podstawienie
13.2. Całkowanie przez części i redukcje
13.3. Newton i Leibniz
14. Całkowanie funkcji wybranych klas
14.1. Całkowanie funkcji wymiernych
14.2. Całkowanie funkcji trygonometrycznych
14.3. Funkcje hiperboliczne
15. Pola, długości i objętości
15.1. Pole figury i długość krzywej
15.2. Bryły obrotowe
15.3. Dwaj Jezuici: Guldin i Cavalieri
16. Metody przybliżone
16.1. Cztery proste metody
16.2. Reguła Simpsona i obliczanie n
16.3. Simpson
17. Całki niewłaściwe
17.1. Całki niewłaściwe
17.2. Kryteria zbieżności
17.3. Nadzwyczaj użyteczna całka
18. Objętość kuli i funkcja gamma*
18.1. Objętość kuli n-wymiarowej
18.2. Funkcja gamma
19. Wzór Stirlinga i wzór Wallisa*
19.1. Wzór Stirlinga i aproksymacje całkowe
19.2. Wzór Wallisa

IV. Szeregi
20. Szeregi i iloczyny
20.1. Szereg geometryczny
20.2. Szereg harmoniczny i szeregi pokrewne
20.3. Iloczyny nieskończone
20.4. Euler
21. Kryteria zbieżności szeregów
21.1. Uogólniony szereg harmoniczny i kryterium całkowe
21.2. Dwa dalsze kryteria: porównawcze i ilorazowe
21.3. Dwa typy zbieżności
21.4. Kryteria d‘Alemberta i Cauchy‘ego
21.5. O rozmieszczeniu liczb pierwszych*
21.6. D‘Alembert
22. Szeregi potęgowe
22.1. Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina
22.2. Funkcje zadane szeregiem potęgowym
23. Operacje na szeregach i wzór Leibniza
23.1. Operacje na szeregach
23.2. Wzór Leibniza i obliczanie 7r
23.3. Szalone rachunki Leonarda Eulera*
24. Liczby zespolone i funkcje przestępne
24.1. Liczby zespolone
24.2. Eksponenta zespolona i najpiękniejszy wzór matematyki
24.3. Liczby zespolone, logarytmy i całki*
25. Szeregi Fouriera
25.1. Szeregi Fouriera
25.2. Kwestie zbieżności
25.3. Fourier, Dirichlet i Riemann

V. Krótkie spojrzenie na równania różniczkowe
26. Równania o zmiennych rozdzielonych
26.1. Podstawowe pojęcia
26.2. Technika rozwiązywania równań
27. Równanie rozpadu i modele wzrostu populacji
27.1. Równanie rozpadu i jego warianty
27.2. Modele wzrostu populacji
28. Liniowość i układy drgające
28.1. Równania liniowe I rzędu
28.2. Równania liniowe II rzędu
28.3. Równanie układu drgającego*
28.4. Bernoulli
29. Równania różniczkowe i szeregi
29.1. Znane równania - nowe podejście
29.2. Trudne równania i funkcje specjalne*
30. Transformata Laplace‘a
30.1. Wzory i własności
30.2. Zastosowania
31. Epilog
31.1. Co już wiemy
31.2. ... a czego nie wiemy

Odpowiedzi i wskazówki

Indeks