GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA I

ISBN: 978-83-8100-301-8

53 stron
format: B5
oprawa: miękka
Rok wydania: 2021

Niniejszy skrypt jest oparty na konspekcie semestralnego wykładu "Geometria różniczkowa I", który autor kilkakrotnie prowadził na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie w latach 2010-2015. Skrypt obejmuje:
- wstęp do teorii powierzchni gładkich w Rn;
- teorię krzywizny krzywych w przestrzeni euklidesowej E3:
- teorię krzywizny powierzchni w E3.
Przedstawiona udoskonalona wersja konspektu jest przygotowana z myślą o szerszym gronie czytelników, w szczególności o środowisku akademickim kierunków matematyczno-fizycznych oraz technicznych, w których geometria różniczkowa odgrywa ważną rolę. Jak widać z poniższego krótkiego opisu zawartości wykładów, treść ich dotyczy kwestii klasycznych, o których napisano setki książek. Celem autora jest przede wszystkim bardzo krótkie i w miarę możliwości intuicyjne wprowadzenie do tych kwestii. Stąd bierze się "oszczędny" styl tekstu. Struktura skryptu w zasadzie zachowuje strukturę semestralnego wykładu - każdy rozdział odpowiada jednemu wykładowi w wymiarze 2 godzin akademickich, a w sumie jest ich 15.
Głównym bohaterem tej "opowieści" jest krzywizna krzywych i powierzchni w przestrzeni euklidesowej. Pojęciu powierzchni gładkiej w Rn, która jest "sceną", gdzie odbywają się zdarzenia opowieści, poświęcone są pierwsze cztery wykłady. W szczególności omawiane są sposoby określania powierzchni, które są powiązane z tradycyjnie "trudno przyswajalnymi" przez studentów twierdzeniami o funkcji uwikłanej oraz rzędzie maksymalnym, oraz obliczania przestrzeni stycznych do nich.
Następne 5 wykładów dotyczy teorii krzywizny krzywych płaskich i przestrzennych, przy czym omawiane są dwa podejścia: trochę bardziej intuicyjne wg autora podejście korzystające z pojęcia okręgu ściśle stycznego oraz bardziej powszechne, oparte na przyśpieszeniu krzywej.
Pozostałe 6 wykładów zostało poświęconych krzywiźnie powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. W nich jest zawarta teoria operatora kształtu, krzywizn głównych i normalnych oraz relacji pomiędzy nimi, omawiane są pojęcia pierwszej formy podstawowej oraz izometrii powierzchni, a także dane jest wprowadzenie do tzw. geometrii wewnętrznej i powiązanych pojęć: różniczkowania kowariantnego, przeniesienia równoległego, geodezyjnych. Cykl ten jest zakończony wykładem o "wewnętrznym" sensie krzywizny Gaussa i tzw. twierdzeniu znaczącym Gaussa.
Na koniec podajemy krótką listę przykładowych zadań, które mogą być rozwiązywane na ćwiczeniach do danego wykładu. Tematyka wykładów została ujęta w spisie treści.
Do zrozumienia danego skryptu niezbędna jest podstawowa wiedza z algebry liniowej, analizy matematycznej wielu zmiennych oraz równań różniczkowych zwyczajnych, aczkolwiek najbardziej niezbędne pojęcia i twierdzenia z tych działów są przypominane w tekście.

SPIS TREŚCI