ALGEBRA ABSTRAKCYJNA

ISBN: 978-83-66364-13-4

277 stron
format: B5
oprawa: twarda
Rok wydania: 2019

Wydanie niniejszej książki związane jest z przyznaniem panu profesorowi A.P. Wojdzie w 2017 roku Nagrody im. A. Hoborskiego, matematyka, pierwszego rektora Akademii Górniczej. Publikacja może służyć jako podręcznik dla studentów roku drugiego i następnych kierunku matematyka, gdyż jej autor od wielu lat wykłada algebrę abstrakcyjną na Wydziale Matematyki Stosowanej AGH. W swojej monografii zgromadził materiał realizowany w ramach przedmiotów "algebra" oraz "algebra 2".

SPIS TREŚCI

Wstęp

1. Arytmetyka liczb całkowitych
1.1. Liczby pierwsze
1.2. Algorytm Euklidesa
1.3. Zadania

2. Grupy
2.1. Funkcja ? Eulera
2.2. Podgrupy
2.3. Homomorfizmy grup, grupy izomorficzne
2.4. Grupy cykliczne
2.5. Twierdzenie Cayleya
2.6. Twierdzenie Lagrange‘a
2.7. Wnioski z twierdzenia Lagrange‘a
2.8. Grupa dihedralna
2.9. Podgrupy normalne
2.10. Podstawowe twierdzenie o izomorfizmie grup
2.11. Grupy alternujące
2.12. Zadania

3. Arytmetyka modularna
3.1. Twierdzenie Eulera i małe twierdzenie Fermata
3.2. Chińskie twierdzenie o resztach
3.3. Residua kwadratowe
3.4. Zasady kryptografii z kluczem publicznym
3.4.1. Metoda Rabina
3.4.2. Metoda RSA
3.5. Zadania

4. Działanie grupy na zbiorze
4.1. Lemat Burnside‘a
4.2. Grupa obrotów sześcianu
4.3. Grupy i kolorowania - metoda Pólyi
4.4. Indeksy cyklowe i twierdzenia Pólyi
4.5. Obliczania liczby grafów
4.6. Zadania

5. Pierścienie
5.1. Przykłady pierścieni
5.2. Podpierścienie
5.3. Ideały i pierścienie ilorazowe
5.4. Ideały i pierścienie główne
5.5. Homomorfizmy pierścieni
5.6. Podzielność w pierścieniach
5.7. Charakterystyka pierścienia
5.8. Zadania

6. Pierścienie Gaussa
6.1. Pierścienie wielomianów
6.2. Pierścienie główne
6.3. Pierścienie euklidesowe
6.4. Algorytm Euklidesa w pierścieniu euklidesowym
6.5. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
6.6. Ciało ułamków pierścienia całkowitego
6.7. Wielomiany nad pierścieniami Gaussa
6.8. Twierdzenie Gaussa
6.9. Wielomiany nierozkładalne
6.10. Zadania

7. Wielomiany wielu zmiennych
7.1. Wielomiany symetryczne
7.2. Twierdzenie Wilsona
7.3. Podstawowe twierdzenie o wielomianach symetrycznych
7.4. Zadania

8. Rozszerzenia ciał
8.1. Ciało rozkładu wielomianu
8.2. Zasadnicze twierdzenie algebry
8.3. Rozszerzenia o skończoną liczbę elementów
8.4. Rozszerzenia skończone i algebraiczne
8.5. Rozszerzenia przestępne
8.6. Rozszerzenia izomorfizmów pierścieni i ciał
8.7. Rząd ciała skończonego
8.8. Pochodne wielomianów i krotności pierwiastków
8.9. Ciało Galois rzędu pn
8.10. Liczby konstruowalne
8.11. Zadania

9. Skończone grupy abelowe
9.1. Twierdzenie Cauchy‘ego dla skończonych grup abelowych
9.2. Twierdzenie o skończonych grupach abelowych
9.3. Zadania

10. Twierdzenia Sylowa
10.1. Pierwsze twierdzenie Sylowa
10.2. Wnioski z pierwszego twierdzenia Sylowa
10.3. Sprzężenie podgrupy
10.4. Twierdzenie o rozkładzie na orbity
10.5. Drugie twierdzenie Sylowa
10.6. Wnioski z drugiego twierdzenia Sylowa
10.7. Trzecie twierdzenie Sylowa
10.8. Wnioski z trzeciego twierdzenia Sylowa
10.9. Zadania

11. Grupy rozwiązalne
11.1. Komutatory i komutanty
11.2. Twierdzenia o izomorfizmie grup
11.3. Warunek konieczny i wystarczający
rozwiązalności grupy
11.4. Zadania

12. Teoria Galois
12.1. Grupa Galois rozszerzenia ciała
12.2. Wielomiany i ciała rozdzielcze
12.3. Twierdzenie o elemencie prymitywnym
12.4. Twierdzenie Dedekinda-Artina
12.5. Rozszerzenia Galois
12.5.1. Wnioski z twierdzenia 12.25
12.5.2. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois
12.6. Rozwiązalność równań algebraicznych
12.7. Zadania

13. Evariste Galois

14. Wskazówki do wybranych zadań
14.1. Rozdział 4
14.2. Rozdział 5
14.3. Rozdział 8
14.4. Rozdział 9
14.5. Rozdział 10
14.6. Rozdział 11
14.7. Rozdział 12

15. Oznaczenia

Bibliografia

Skorowidz